【函数运算求导公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的函数运算求导公式，有助于快速解决各种数学问题。以下是对常见函数运算求导公式的总结，结合文字说明和表格形式，便于理解和记忆。
一、基本求导法则
1. 常数函数的导数
常数的导数为零，因为其值不随自变量变化。
2. 幂函数的导数
若函数为 $ f(x) = x^n $，则其导数为 $ f'(x) = nx^{n-1} $。
3. 和差法则
若函数为两个函数的和或差，则导数为其各自导数的和或差。
4. 积法则
若函数为两个函数的乘积，则导数为第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
5. 商法则
若函数为两个函数的商，则导数由分子导数乘以分母减去分子乘以分母导数，再除以分母平方得到。
6. 链式法则（复合函数）
若函数为复合函数，如 $ f(g(x)) $，则其导数为 $ f'(g(x)) \cdot g'(x) $。
二、常见函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数表达式 | 说明 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ | 常数的导数为零 |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ | 幂函数的导数 |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ | 指数函数的导数等于自身 |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ | 底数为任意正数的指数函数 |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ | 自然对数的导数 |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ | 一般对数的导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ | 正弦函数的导数为余弦 |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ | 余弦函数的导数为负的正弦 |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ | 正切函数的导数 |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ | 余切函数的导数 |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ | 正割函数的导数 |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ | 余割函数的导数 |
三、函数运算的导数规则
| 运算类型 | 公式 | 说明 |
| 和差法则 | $ [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x) $ | 加减法的导数等于各自导数的加减 |
| 积法则 | $ [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) $ | 乘法的导数为两部分之和 |
| 商法则 | $ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ | 分子与分母的导数差 |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数需逐层计算 |
四、小结
掌握这些函数运算的求导公式和规则，是学习高等数学、物理、工程等学科的基础。建议通过大量练习来加深理解，并注意不同函数之间的区别与联系。在实际应用中，灵活运用这些公式可以大大提高解题效率和准确性。
