【二项分布x平方的期望】在概率论与数理统计中，二项分布是一个非常重要的离散型概率分布。它描述了在 $ n $ 次独立重复的伯努利试验中，成功次数 $ X $ 的概率分布。若随机变量 $ X \sim B(n, p) $，则其期望为 $ E(X) = np $，方差为 $ Var(X) = np(1-p) $。
然而，在实际应用中，我们有时需要计算 $ X^2 $ 的期望，即 $ E(X^2) $。这在计算方差、协方差以及进行一些统计推断时具有重要意义。本文将对二项分布 $ X $ 的平方的期望进行总结，并通过表格形式展示关键公式和数值示例。
一、二项分布的基本性质
设 $ X \sim B(n, p) $，则：
- 概率质量函数（PMF）：
$$
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0, 1, ..., n
$$
- 期望：
$$
E(X) = np
$$
- 方差：
$$
Var(X) = np(1 - p)
$$
二、$ X^2 $ 的期望
根据数学期望的定义，有：
$$
E(X^2) = \sum_{k=0}^{n} k^2 \cdot P(X = k)
$$
但我们可以利用方差的定义来更简便地求解：
$$
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
因此，
$$
E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2
$$
代入已知的期望和方差表达式，得到：
$$
E(X^2) = np(1 - p) + (np)^2 = np(1 - p) + n^2p^2
$$
进一步整理得：
$$
E(X^2) = n^2p^2 + np(1 - p)
$$
三、关键公式总结
| 公式名称 | 表达式 |
| 期望 $ E(X) $ | $ np $ |
| 方差 $ Var(X) $ | $ np(1 - p) $ |
| $ E(X^2) $ | $ n^2p^2 + np(1 - p) $ |
四、示例计算
假设 $ X \sim B(5, 0.4) $，即 $ n = 5 $，$ p = 0.4 $，那么：
- $ E(X) = 5 \times 0.4 = 2 $
- $ Var(X) = 5 \times 0.4 \times 0.6 = 1.2 $
- $ E(X^2) = 1.2 + (2)^2 = 1.2 + 4 = 5.2 $
五、结论
对于服从二项分布的随机变量 $ X \sim B(n, p) $，其平方的期望 $ E(X^2) $ 可以通过方差和期望的关系快速得出，无需逐项计算。这一结果在统计分析、风险评估等领域具有广泛的应用价值。
表格总结
| 参数 | 值 |
| $ n $ | 5 |
| $ p $ | 0.4 |
| $ E(X) $ | 2 |
| $ Var(X) $ | 1.2 |
| $ E(X^2) $ | 5.2 |
如需其他参数组合的计算，可按照上述公式进行调整。
