【等差数列和等比数列的通项公式】在数学中，数列是按照一定规律排列的一组数。其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们各自具有独特的性质和通项公式。掌握这些公式有助于我们快速找到数列中的任意一项，从而进行更深入的分析与应用。
一、等差数列
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差为一个常数的数列。这个常数称为“公差”，通常用字母 $ d $ 表示。
通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ a_n $ 表示第 $ n $ 项；
- $ a_1 $ 表示首项；
- $ d $ 表示公差。
特点：
- 每一项之间的差是固定的；
- 若公差 $ d > 0 $，则数列为递增数列；
- 若公差 $ d < 0 $，则数列为递减数列；
- 若公差 $ d = 0 $，则数列为常数数列。
二、等比数列
等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比为一个常数的数列。这个常数称为“公比”，通常用字母 $ r $ 表示。
通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}
$$
其中：
- $ a_n $ 表示第 $ n $ 项；
- $ a_1 $ 表示首项；
- $ r $ 表示公比。
特点：
- 每一项之间的比是固定的；
- 若公比 $ r > 1 $，则数列为递增数列；
- 若公比 $ 0 < r < 1 $，则数列为递减数列；
- 若公比 $ r = 1 $，则数列为常数数列；
- 若公比 $ r < 0 $，则数列会出现正负交替的现象。
三、总结对比表
| 特性/类型 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 后项减前项为常数 | 后项除以前项为常数 |
| 公差（d） | 用于描述相邻项的差 | 用于描述相邻项的比 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ |
| 举例 | 2, 5, 8, 11, 14,…（d=3） | 3, 6, 12, 24, 48,…（r=2） |
| 数列变化趋势 | 均匀变化 | 指数增长或衰减 |
| 应用场景 | 等量增加或减少的情况 | 人口增长、复利计算、病毒传播等 |
通过理解等差数列和等比数列的通项公式，我们可以更好地分析和预测数列的发展趋势。无论是日常生活还是科学研究，这些知识都具有重要的实际意义。
