【已知密度函数怎么求分布函数】在概率论与数理统计中，密度函数和分布函数是描述随机变量性质的两个重要概念。已知连续型随机变量的概率密度函数（PDF），可以通过积分的方式求得其对应的分布函数（CDF）。本文将对这一过程进行总结，并以表格形式展示关键步骤和公式。
一、基本概念
| 概念 | 定义 | 说明 |
| 概率密度函数（PDF） | $ f(x) $ | 描述随机变量在某一点附近的变化率，不直接表示概率 |
| 分布函数（CDF） | $ F(x) $ | 表示随机变量小于等于 $ x $ 的概率，即 $ F(x) = P(X \leq x) $ |
二、从密度函数求分布函数的方法
1. 定义法
分布函数 $ F(x) $ 是密度函数 $ f(x) $ 在区间 $ (-\infty, x] $ 上的积分：
$$
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt
$$
2. 分段函数处理
若密度函数 $ f(x) $ 是分段定义的，则需根据不同的区间分别计算积分。
3. 边界条件检查
- 当 $ x \to -\infty $ 时，$ F(x) \to 0 $
- 当 $ x \to +\infty $ 时，$ F(x) \to 1 $
4. 单调性与连续性
分布函数是单调不减的，且在大多数情况下是连续的（除非存在离散点）。
三、典型例子对比
| 密度函数 $ f(x) $ | 分布函数 $ F(x) $ | 计算方式 |
| $ f(x) = e^{-x}, x \geq 0 $ | $ F(x) = 1 - e^{-x}, x \geq 0 $ | $ \int_{0}^{x} e^{-t} dt $ |
| $ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b $ | $ F(x) = \frac{x - a}{b - a}, a \leq x \leq b $ | $ \int_{a}^{x} \frac{1}{b-a} dt $ |
| $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} $ | $ F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-t^2/2} dt $ | 无法用初等函数表达，需查表或数值计算 |
四、注意事项
- 注意积分上下限：必须明确密度函数的定义域。
- 避免错误积分：若密度函数为0的区域，积分结果也为0。
- 验证分布函数的性质：确保 $ F(-\infty) = 0 $，$ F(+\infty) = 1 $，且单调非降。
五、总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定密度函数 $ f(x) $ 的定义域 |
| 2 | 对 $ f(x) $ 进行积分，得到 $ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt $ |
| 3 | 分段处理复杂密度函数 |
| 4 | 验证分布函数是否符合基本性质 |
通过以上方法，可以从已知的概率密度函数出发，系统地求出对应的分布函数。掌握这一过程对于理解随机变量的累积概率特性具有重要意义。
