【10片药片中友5片是安慰剂,从中每次取一片,做不放回抽样,求前三次】在医学或统计学研究中，常会遇到从有限总体中进行不放回抽样的问题。例如，有10片药片，其中5片是安慰剂，另外5片是有效药物。如果从中每次随机抽取一片，且不放回，那么前三次抽到不同情况的概率是多少？本文将通过分析和计算，总结出前三次抽样的各种可能结果及其概率。
一、问题简述
- 总共有10片药片，其中5片是安慰剂（记为A），5片是药物（记为D）。
- 每次抽取一片，不放回。
- 要求计算前三次抽样的所有可能组合及其对应的概率。
二、分析与计算
由于是不放回抽样，前三次的抽取顺序会影响结果的概率。我们可以列举所有可能的前3次抽取结果，并计算每种情况出现的概率。
1. 所有可能的抽取结果（考虑顺序）
由于每次抽取后不放回，因此前三次抽取的结果可以看作是从10个元素中取出3个的排列数，即：
$$
P(10, 3) = 10 \times 9 \times 8 = 720
$$
但由于我们关注的是“安慰剂”和“药物”的数量，而不是具体哪一片药，因此我们按“安慰剂”和“药物”的组合来分类。
三、表格总结：前三次抽样的概率分布
| 抽取顺序 | 安慰剂数 | 药物数 | 可能组合数 | 概率 |
| AAA | 3 | 0 | C(5,3) × P(3,3) = 10 × 6 = 60 | 60/720 = 1/12 ≈ 0.0833 |
| AAD | 2 | 1 | C(5,2) × C(5,1) × P(3,3)/P(2,2) = 10 × 5 × 3 = 150 | 150/720 = 5/24 ≈ 0.2083 |
| ADA | 2 | 1 | 同上 | 150/720 = 5/24 ≈ 0.2083 |
| DAA | 2 | 1 | 同上 | 150/720 = 5/24 ≈ 0.2083 |
| ADD | 1 | 2 | C(5,1) × C(5,2) × P(3,3)/P(2,2) = 5 × 10 × 3 = 150 | 150/720 = 5/24 ≈ 0.2083 |
| DAD | 1 | 2 | 同上 | 150/720 = 5/24 ≈ 0.2083 |
| DDA | 1 | 2 | 同上 | 150/720 = 5/24 ≈ 0.2083 |
| DDD | 0 | 3 | C(5,3) × P(3,3) = 10 × 6 = 60 | 60/720 = 1/12 ≈ 0.0833 |
> 注：此处“组合数”指的是满足该类别的不同排列方式的数量；“概率”为该类别出现的概率。
四、总概率验证
将上述概率相加：
$$
\frac{1}{12} + \frac{5}{24} + \frac{5}{24} + \frac{5}{24} + \frac{5}{24} + \frac{5}{24} + \frac{5}{24} + \frac{1}{12} = 1
$$
验证无误。
五、结论
在10片药片中有5片是安慰剂的情况下，进行不放回抽样，前三次抽取的各类结果的概率如下：
- 抽到3片安慰剂的概率约为8.33%
- 抽到2片安慰剂、1片药物的概率约为20.83%（共3种排列）
- 抽到1片安慰剂、2片药物的概率约为20.83%（共3种排列）
- 抽到3片药物的概率约为8.33%
此分析有助于理解不放回抽样中的概率分布规律，适用于实验设计、质量控制等实际场景。
