【三角函数基本公式大全】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握三角函数的基本公式对于理解和解决相关问题具有重要意义。本文将对常见的三角函数基本公式进行系统总结，并以表格形式直观展示，便于查阅和记忆。
一、基本定义公式
| 名称 | 公式 | 说明 |
| 正弦函数 | $ \sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} $ | 直角三角形中对边与斜边的比值 |
| 余弦函数 | $ \cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} $ | 直角三角形中邻边与斜边的比值 |
| 正切函数 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} $ | 对边与邻边的比值 |
| 余切函数 | $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ | 正切的倒数 |
| 正割函数 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $ | 余弦的倒数 |
| 余割函数 | $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ | 正弦的倒数 |
二、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 公式 | 说明 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ | 奇函数 |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ | 偶函数 |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ | 对称于 $ \pi/2 $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ | 对称于 $ \pi/2 $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ | 对称于 $ \pi $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ | 对称于 $ \pi $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) $ | $ -\sin\theta $ | 对称于 $ 2\pi $ |
| $ \cos(2\pi - \theta) $ | $ \cos\theta $ | 对称于 $ 2\pi $ |
三、同角三角函数关系
| 公式 | 说明 |
| $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ | 平方关系 |
| $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ | 与正切、正割的关系 |
| $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ | 与余切、余割的关系 |
四、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ | 正弦的和差公式 |
| $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ | 余弦的和差公式 |
| $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ | 正切的和差公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ | 二倍角公式 |
| $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ | 二倍角公式 |
| $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ | 二倍角公式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ | 半角公式 |
| $ \cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ | 半角公式 |
| $ \tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ | 半角公式 |
七、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ | 积化和差公式 |
| $ \cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) - \sin(A - B)] $ | 积化和差公式 |
| $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)] $ | 积化和差公式 |
| $ \sin A \sin B = -\frac{1}{2}[\cos(A + B) - \cos(A - B)] $ | 积化和差公式 |
八、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ | 和差化积公式 |
| $ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ | 和差化积公式 |
| $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ | 和差化积公式 |
| $ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ | 和差化积公式 |
总结
三角函数公式种类繁多，但其核心思想在于通过角度之间的转换、加减、乘除等操作来推导出新的表达式。掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对三角函数本质的理解。建议在学习过程中结合图形辅助理解，并通过练习不断巩固记忆。
